Question

（2007•沈陽）如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120度．以D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則△AMN的周長為    ．

Answer 1

【答案】分析：要求△AMN的周長，根據題目已知條件無法求出三條邊的長，只能把三條邊長用其它已知邊長來表示，所以需要作輔助線，延長AB至F，使BF=CN，連接DF，通過證明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，從而得出MN=MF，△AMN的周長等于AB+AC的長．
解答：解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵△ABC是邊長為3的等邊三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
延長AB至F，使BF=CN，連接DF，
在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC
∴△BDF≌△CND
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN
∵∠MDN=60°
∴∠BDM+∠CDN=60°
∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM為公共邊
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF
∴△AMN的周長是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．
點評：此題主要利用等邊三角形和等腰三角形的性質來證明三角形全等，構造另一個三角形是解題的關鍵．