Question

28、如圖，PA=PB，OE⊥PA，OF⊥PB，則以下結論：①OP是∠APB的平分線；②PE=PF③CA=BD；④CD∥AB；其中正確的有（　　）個．

A、4

B、3

C、2

D、1

Answer 1

分析：①通過證明△AOC≌△BOD，再根據全等三角形的對應高相等求得OE=OF；再根據角平分線的性質證明OP是∠APB的平分線；
②由角平分線的性質證明PE=PF；
③通過證明△AOC≌△BOD，再根據全等三角形的對應邊相等求得CA=BD；
④通過證明△PCD∽△PAB，再根據相似三角形的性質對應角相等證得∠PDC=PBA；然后由平行線的判定得出結論CD∥AB．

解答：解：
連接OP、OC、OA、OD、OB、CD、AB．
∵PC•PA=PD•PB（相交弦定理），PA=PB（已知），
∴PC=PD，
∴AC=BD；
在△AOC和△BOD中，
∵∠AOC=∠BOD（等弦對等角），
OA=OB（半徑），
OD=OC（半徑），
∴△AOC≌△BOD，
∴③CA=BD；
OE=OF；
又∵OE⊥PA，OF⊥PB，
∴①OP是∠APB的平分線；
∴②PE=PF；
在△PCD和△PAB中，
PC：PA=PD：PB，
∠DPC=∠BPA，
∴△PCD∽△PAB，
∴∠PDC=PBA，
∴④CD∥AB；
綜上所述，①②③④均正確，故答案選A．

點評：本題綜合考查了等弦對等角，相交弦定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質以及平行線的判定．