Question

（下面提供兩題備選，請在a、b中選擇一道你所熟悉的題進行解答）



a、如圖1，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，CE與BA的延長線相交于F點．連結DF．
（1）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．
（2）若ACDF是矩形，試探求∠1與∠2之間的關系．
b、如圖2，等腰梯形ABCD中，E、F是兩腰的中點，連接線段AF，作EG∥AF，交BC于G，再連結線段FG．
（1）求證：四邊形AEGF是平行四邊形．
（2）若AEGF是矩形，試探求∠1與∠2之間的關系．

Answer 1

a、如圖1．
（1）證明：∵平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，
∴AE=ED，BF∥CD，
∴∠FAE=∠CDE．
在△AEF與△DEC中，

∠FAE=∠CDE AE=DE ∠AEF=∠DEC

，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
又BF∥CD，即AF∥CD，
∴四邊形ACDF是平行四邊形；



（2）∠1=2∠2．理由如下：
∵ACDF是矩形，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
又∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAC=∠2，
∴∠EAC=∠ECA=∠2，
∴∠1=∠EAC+∠ECA=∠2+∠2=2∠2．



b、如圖2．
（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，E、F是兩腰的中點，
∴EF為梯形ABCD的中位線，
∴EF∥BC，
又∵EG∥AF，
∴∠AFE=∠FEG=∠2，∠BAF=∠BEG．
在△AEF與△EBG中，

∠AFE=∠2 ∠EAF=∠BEG AE=EB

，
∴△AEF≌△EBG，
∴AF=EG，
∵AF∥EG，
∴四邊形AEGF是平行四邊形；

（2）∠1=2∠2．理由如下：
理由是：∵AEGF是矩形，
∴FG∥AB，∠AEG=∠EGF=90°，
∴∠B=∠C=∠FGC，
∵∠2+∠B=90°，2∠B+∠1=180°，
∴2∠B+∠1=2（∠2+∠B）=180°，
∴∠1=2∠2．