Question

（下面提供兩題備選，請在a、b中選擇一道你所熟悉的題進行解答）

a、如圖1，在平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，CE與BA的延長線相交于F點．連結DF．
（1）求證：四邊形ACDF是平行四邊形．
（2）若ACDF是矩形，試探求∠1與∠2之間的關系．
b、如圖2，等腰梯形ABCD中，E、F是兩腰的中點，連接線段AF，作EG∥AF，交BC于G，再連結線段FG．
（1）求證：四邊形AEGF是平行四邊形．
（2）若AEGF是矩形，試探求∠1與∠2之間的關系．

Answer 1

分析：a、（1）由已知平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，可得AE=ED，BF∥CD，則∠FAE=∠CDE，又∠AEF=∠DEC，利用ASA證明△AEF≌△DEC，所以AF=CD，再根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得其為平行四邊形；
（2）根據矩形的性質得AE=CE，則∠EAC=∠ECA，又由平行四邊形ABCD得∠EAC=∠2，所以∠EAC=∠ECA=∠2，從而得∠1=∠EAC+∠ECA=∠2+∠2=2∠2．
b、（1）根據平行線的性質推出∠AFE=∠FEG=∠2，∠BAF=∠BEG，又AE=EB，利用AAS證明△AEF≌△EBG，推出AF=EG，再根據“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得其為平行四邊形；
（2）根據矩形的性質得FG∥AB，∠AEG=∠EGF=90°，由等腰梯形及等腰三角形的性質得∠B=∠C=∠FGC，再根據三角形的內角和定理得∠2+∠B=90°，2∠B+∠1=180°，變形即可得出∠1=2∠2．

解答：a、如圖1．
（1）證明：∵平行四邊形ABCD中，E是AD的中點，
∴AE=ED，BF∥CD，
∴∠FAE=∠CDE．
在△AEF與△DEC中，

∠FAE=∠CDE AE=DE ∠AEF=∠DEC

，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF=CD，
又BF∥CD，即AF∥CD，
∴四邊形ACDF是平行四邊形；

（2）解：∠1=2∠2．理由如下：
∵ACDF是矩形，
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA，
又∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAC=∠2，
∴∠EAC=∠ECA=∠2，
∴∠1=∠EAC+∠ECA=∠2+∠2=2∠2．

b、如圖2．
（1）證明：∵等腰梯形ABCD中，E、F是兩腰的中點，
∴EF為梯形ABCD的中位線，
∴EF∥BC，
又∵EG∥AF，
∴∠AFE=∠FEG=∠2，∠BAF=∠BEG．
在△AEF與△EBG中，

∠AFE=∠2 ∠EAF=∠BEG AE=EB

，
∴△AEF≌△EBG，
∴AF=EG，
∵AF∥EG，
∴四邊形AEGF是平行四邊形；

（2）解：∠1=2∠2．理由如下：
理由是：∵AEGF是矩形，
∴FG∥AB，∠AEG=∠EGF=90°，
∴∠B=∠C=∠FGC，
∵∠2+∠B=90°，2∠B+∠1=180°，
∴2∠B+∠1=2（∠2+∠B）=180°，
∴∠1=2∠2．

點評：本題主要考查對等腰梯形的性質，平行四邊形的判定與性質，矩形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的理解和掌握，能推出（1）AF=CD，（2）AF=EG是解題的關鍵．