Question

如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．
（1）求證：∠ECD=∠EDC；
（2）若∠AOB=60°，OE=8，試求EF的長．

Answer 1

分析：（1）點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知EC=ED，即可求證∠ECD=∠EDC；
（2）首先證明△DOC是等邊三角形，進而得出∠EOC=30°，又因為EC⊥OA，所以∠ECO=90°，OE=8，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求得EF=

1

2

OE．

解答：解：（1）∵點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED．
∴△EDC為等腰三角形．
∴∠ECD=∠EDC．

（2）∵在Rt△DEO和Rt△CEO中，
∵EO=EO，DE=EC（已證），
∴Rt△DEO≌Rt△CEO（HL），
∴DO=CO，
∵∠AOB=60°，OE是∠AOB的平分線，
∴∠EOC=30°，△DOC是等邊三角形，
∴∠OCD=60°，
∵EC⊥OA，
∴∠ECO=90°．
∴∠ECF=30°，
∴EC=

1

2

OE=4，
∴EF=

1

2

EC=

1

2

×4=2．

點評：本題考查了同學們利用角平分線的性質(zhì)解決問題的能力，有利于培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維能力．