Question

24、如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D．
求證：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD；
（3）OE是線段CD的垂直平分線．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線性質可證ED=EC，從而可知△CDE為等腰三角形，可證∠ECD=∠EDC；
（2）由OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，OE=OE，可證△OED≌△OEC，可得OC=OD；
（3）根據ED=EC，OC=OD，可證OE是線段CD的垂直平分線．

解答：證明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ED=EC，即△CDE為等腰三角形，
∴∠ECD=∠EDC；
（2）∵點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠DOE=∠COE，∠ODE=∠OCE=90°，OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL），
∴OC=OD；
（3）∵ED=EC，OC=OD，
∴OE是線段CD的垂直平分線．

點評：本題考查了角平分線性質，線段垂直平分線的判定，等腰三角形的判定，三角形全等的相關知識．關鍵是明確圖形中相等線段，相等角，全等三角形．