Question

【題目】如圖，直線與相切于點T，直線與相交于兩點，連接.

（1）求證：；

（2）若，請直接寫出圖中陰影部分的面積（結果保留無理數）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用切線的性質得∠OTP=90°，即∠2+∠PTA=90°，再利用圓周角定理得到∠ATB=90°，則∠2+∠1=90°，然后利用等量代換得到∠PTA=∠B；
（2）利用TP=TB得到∠P=∠B，而∠POT=2∠B，所以∠POT=2∠P，則利用∠OTP=90°可計算出∠P=30°，∠POT=60°，利用含30度的直角三角形三邊的關系得到OT=6，△AOT為等邊三角形，然后根據扇形的面積公式和圖中陰影部分的面積=S扇形AOT-S△AOT進行計算．

（1）證明：∵直線PT與⊙O相切于點T，
∴OT⊥PT，
∴∠OTP=90°，
即∠2+∠PTA=90°，
∵AB為直徑，
∴∠ATB=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠PTA=∠1，
∵OB=OT，
∴∠1=∠B，
∴∠PTA=∠B；
（2）解：∵PT=BT，
∴∠P=∠B，
∵∠POT=∠B+∠1=2∠B，
∴∠POT=2∠P，
而∠OTP=90°，
∴∠P=30°，∠POT=60°，
∴OT=PT=6，△AOT為等邊三角形，
∴圖中陰影部分的面積=S扇形AOT-S△AOT=-=6π-9.