Question

如圖（1），有A型、B型、C型三種不同的紙板，其中A形是邊長為m的正方形，B型是長為m、寬為n的長方形，C型是邊長為n的正方形．由圖（2）中四塊紙板拼成的正方形的面積關系可以說明（m+n）²=m²+2mn+n²成立．

（1）類似地，由圖（3）中六塊紙板拼成的大長方形的面積關系可以說明的等式是

（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²

．
（2）現有A型紙板2塊，B型紙板5塊，C型紙板2塊，要求緊密且不重疊地拼出一個大長方形，如果紙板最多剩一塊，請畫出所有可能拼出的大長方形的示意圖；類似地，根據所拼出的大長方形的面積關系寫出可以說明的等式．

Answer 1

分析：（1）六塊紙板拼成的大長方形的寬為（m+n）、長為（2m+n），而它由2塊A型、3塊B型、1塊C型組成，所以可以說明的等式是（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²；
（2）A型紙板2塊，B型紙板5塊，C型紙板2塊不重疊地拼出一個大長方形可得到邊長為2m+n與m+2n的長方形；若剩一塊C型紙板，可得到邊長為2m+2n與m+n的長方形．

解答：解：（1）六塊紙板拼成的大長方形的面積關系可以說明的等式為（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²；

（2）圖（4）中九塊紙板拼成的大長方形的面積關系可以說明的等式為（2m+n）（m+2n）=2m²+5mn+2n²；
若剩一塊C型紙板，如圖（5）中八塊紙板拼成的大長方形的面積關系可以說明的等式為（2m+2n）（m+n）=2m²+4mn+2n²．
故答案為（m+n）（2m+n）=2m²+3mn+n²．

點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景：運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．