Question

【題目】如圖，在⊙O 的內(nèi)接△ABC 中，∠ABC＝30°，AC 的延長(zhǎng)線(xiàn)與過(guò)點(diǎn) B 的⊙O 的切線(xiàn)相交于點(diǎn) D，若⊙O 的半徑 OC＝1，BD∥OC，則 CD 的長(zhǎng)為（ ）

A. 1+ B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

作輔助線(xiàn)OB、CE構(gòu)建正方形CEBO．根據(jù)圓周角定理（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半）求得∠OAC=2∠ABC=60°，然后由切線(xiàn)的性質(zhì)及平行線(xiàn)的性質(zhì)求得OB⊥OC，OB⊥BD；再根據(jù)圓的半徑都相等知OB=OC，所以判定四邊形CEBO是正方形，然后在直角三角形CDE中利用正弦三角函數(shù)sin∠D=sin60°求CD的長(zhǎng)度并作出選擇．

連接OB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOC=60°（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半）；

∵OA=OC（⊙O的半徑），

∴∠ACO=∠OAC=60°（等邊對(duì)等角），

又BD∥OC，

∴∠ACO=∠D=60°（兩直線(xiàn)平行，同位角相等），

∴∠OCD=120°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)），

∵BD是⊙O的切線(xiàn)，

∴OB⊥OC，OB⊥BD，

又∵OB=OC，

∴四邊形CEBO是正方形，

∴CE=OB=1，

∴CD==，

故選：B．