Question

對于每個非零自然數n，拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n，B_n兩點，以A_nB_n表示這兩點間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉的值是（　　）

• A、

  2009

  2008

• B、

  2008

  2009

• C、

  2010

  2009

• D、

  2009

  2010

Answer 1

分析：本題就是將非零自然數n分別代入拋物線得出與x軸交點的各個值，分別算出兩交點間的距離再求出它們的和．

解答：解：將n=1，2，3，4…分別代入拋物線得y=x²-

3

2

x+

1

2

，y=x²-

5

6

x+

1

6

，y=x²-

7

12

x+

1

12

，…；
分別解得x₁=1，x₂=

1

2

，x₃=

1

2

，x₄=

1

3

，x₅=

1

3

，x₆=

1

4

，…；
∴A₁B₁=1-

1

2

，A₂B₂=

1

2

-

1

3

，A₃B₃=

1

3

-

1

4

，…，A₂₀₀₉B₂₀₀₉=

1

2009

-

1

2010

；
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

．
故選D．

點評：此題是一道開放題，需要先代入幾個特殊值，找出規律，然后解答．