Question

對于每個非零自然數n，拋物線y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n，B_n、兩點，以A_nB_n表示這兩點間的距離，則A₁B₁+A₂B₂…+A₂₀₁₃B₂₀₁₃的值是

2013

2014

．

Answer 1

分析：先轉換拋物線解析式為兩點式：y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

），則易求該拋物線與x軸的兩個交點；然后求出一元二次方程的根，根據兩點間的坐標差求出距離，找出規律解答即可．

解答：解：y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

），
則故拋物線與x軸交點坐標為（

1

n

，0）、（

1

n+1

，0）．
由題意知，AnBn=

1

n

-

1

n+1

，
那么，A₁B₁+A₂B₂…+A₂₀₁₃B₂₀₁₃，
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2013

-

1

2014

），
=1-

1

2014

，
=

2013

2014

．
故答案是：

2013

2014

．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點，在解答過程中，注意二次函數與一元二次方程之間的聯系，并從中擇取有用信息解題；求兩點間的距離時，要利用兩點間的坐標差來解答．