Question

已知關于x的一元二次方程kx²+2（k+1）x+k-1=0有實根，
（1）求k的范圍；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長a=1，另外兩條邊b，c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）根據關于x的一元二次方程有實數根可知△≥0，k≠0，求出k的取值范圍即可；
（2）由于a為低或腰不能確定，故應分兩種情況進行討論，
①當a為腰時，b、c中必有一個為1，把x=1代入原方程可求出k的值，進而求出方程的另一根，再根據三角形的三邊關系判斷出a、b、c的值是否符合題意即可；
②當a為底時，b=c，即方程有兩個相等的實數根，由△=0可求出k的值，再求出方程的兩個根進行判斷即可．

解答：解：（1）∵原方程有實數根
∴△=[2（k+1）²-4k（k-1）]≥0，
∴k≥-

1

3

，
∵原方程是一元二次方程，
∴k≠0，
∴k的取值范圍是：k≥-

1

3

且k≠0；

（2）①當b或c有一個是1時，將x=1代入原方程得k=-

1

4

，（4分）
將k=-

1

4

代入原方程并化為一般式x²-6x+5=0，
解得方程另一根為5而1，1，5構不成三角形，故舍去；（5分）

②當b，c為腰時，即△=0，此時k=-

1

3

（6分）
∴原方程可化為：-

1

3

x²+

4

3

x-

4

3

=0，
解得x₁=x₂=2，（7分）
∴△ABC的周長為5．（8分）

點評：本題考查的是一元二次方程根的判別式及三角形的三邊關系，在解答（2）時要注意分類討論，不要漏解．