Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得△AFB，連接EF，下列結論：①△AED≌△AEF；②△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；③BE+DC=DE；④BE²+DC²=DE²；⑤∠ADC=22.5°，其中正確的是

1. A.
   ①③④
2. B.
   ③④⑤
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②⑤

Answer 1

C
分析：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因為∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可證明△AEF≌△AED；
②根據旋轉的性質，△ADC≌△ABF，進而得出△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；
③根據①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可確定說法是否正確；
④據①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根據勾股定理判斷．
⑤可以利用①②④正確，利用答案中沒有更多正確答案，得出⑤錯誤．
解答：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠CAD+∠BAE=45°．
∴∠EAF=45°，
∴△AEF≌△AED；
故①正確；
②∵根據旋轉的性質，∴△ADC≌△ABF，
∴△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；
故此選項正確；
③根據①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，
∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，
故③錯誤；
④∵AB=AC，△ADC旋轉90°至△AFB，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
根據旋轉的性質可得△ADC≌△ABF，∠ABF=∠ACD=45°，
∴∠FBE=45°+45°=90°，
∴BE²+BF²=EF²，
∵△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=CD，
又∵EF=DE，
∴BE²+CD²=DE²，故④正確．
⑤∵可以利用①②④正確，利用答案中沒有更多正確答案，得出⑤錯誤．
故正確的有：①②④．
故選C．
點評：此題主要考查了圖形的旋轉變換以及全等三角形的判定等知識，解題時注意旋轉前后對應的相等關系．