Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，CF垂直直徑BD于點E，交邊AB于點F.

（1）求證：∠BFC=∠ABC.

（2）若⊙O的半徑為5，CF=6，求AF長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連結AD，由BD是直徑可得∠BAD=90°，由CF⊥BD可得∠BEF=90°，可得∠BFC=∠ADB，根據等腰三角形性質和圓周角定理即可證明∠BFC=∠ABC；（2）連接CD，由BD是直徑可得∠BCD=90°，根據（1）的結論可得CF=BC=6，利用勾股定理可求出CD的長，即可得∠DBC的余弦和正弦值，進而可得CE、BE的長，即可得EF的長，利用勾股定理可得BF的長，即可求出的余弦值，進而求出AB的長，根據AF=AB-BF即可得答案.

（1）證明：連結AD，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°，

∵CF⊥BD，

∴∠BEF =90°，

∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ABD+∠BFE=90°，

∴∠BFC=∠ADB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠ACB=∠ADB，

∴∠BFC=∠ABC.

（2）連結CD，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BCD=90°，

∵∠BFC=∠ABC，

∴BC=CF=6，

∵BD=10，

∴CD==8，

∴cos∠DBC=，sin∠DBC=，

在Rt△BCE中，，，

∴，

∴，

∵，即，

∴，

∴.