Question

（2011•峨眉山市二模）如圖，在Rt△ABO中，OB=8，tan∠OBA=

3

4

．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點C在x軸負半軸上，且OB=4OC．若拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B、C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設該二次函數的圖象的頂點為P，求四邊形OAPB的面積；
（3）有兩動點M，N同時從點O出發，其中點M以每秒2個單位長度的速度沿折線OAB按O→A→B的路線運動，點N以每秒4個單位長度的速度沿折線按O→B→A的路線運動，當M、N兩點相遇時，它們都停止運動．設M、N同時從點O出發t秒時，△OMN的面積為S．
①請求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
②判斷在①的過程中，t為何值時，△OMN的面積最大？

Answer 1

分析：（1）根據已知條件可求OA、OC的長度，從而得A、B、C三點坐標．代入拋物線解析式中得方程組求解；
（2）根據解析式求頂點P的坐標．作PD⊥x軸于D點，則四邊形OAPB的面積=梯形ODPB的面積+△APD的面積；
（3）分段表示：①0＜t≤2； ②2＜t＜3； ③3≤t＜4．
根據函數關系式求面積最大值．

解答：解：（1）∵tan∠OBA=

OA

OB

=

3

4

，
∴OA=OB•tan∠OBA=8×

3

4

=6，則A的坐標是（6，0）．
∵OB=4OC，
∴OC=

1

4

OB=2，則C的坐標是（-2，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B、C，
則

36a+6b+c=0 c=-8 4a-2b+c=0

解得：

a= 2 3 c=-8 b=- 8 3

，
則拋物線的解析式是：y=

2

3

x²-

8

3

x-8；


（2）拋物線的頂點的橫坐標 x=-

- 8 3

2× 2 3

=2，
縱坐標是：y=

2

3

×2²-

8

3

×2-8=-

32

3

．                                            
則P的坐標是：（2，-

32

3

）．                                                                             
S_{四邊形OAPB}=S_梯形ODPB+S_△APD
=（8+

32

3

）×2×

1

2

+

1

2

×（6-2）×

32

3

=40；


（3）當 0＜t≤2 時，S_△OMN=

1

2

×4t×2t=4t²；
當t=2時，S最大，最大值為16；
當 2＜t＜3 時，BN=4t-8，AN=10-（4t-8）=18-4t．
作NQ⊥x軸于Q點，則

NQ

AN

=

OB

AB

=

8

10

=

4

5

，
∴NQ=

4

5

×(18-4t)．
∴S_△OMN=

1

2

×2t×

4

5

×(18-4t)=-

16

5

t²+

72

5

t；
當t=

9

4

時S最大，最大值為

81

5

；
當 3≤t＜4 時，MN=△OAB的周長-4t-2t=24-6t．
作OQ⊥AB于Q點．
∵S_△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

AB×OQ，
∴OQ=

6×8

10

=

24

5

．
∴S_△OMN=

1

2

×

24

5

×（24-6t）=-

72

5

t+

288

5

；
當t=3時S最大，最大值為

72

5

．
綜上所述，在整個運動過程中，當t=

9

4

時S_△OMN最大，最大值為

81

5

．

點評：此題考查了用待定系數法求函數解析式及應用分類思想求運動過程中圖形的面積計算，綜合性強，難度大．