Question

在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx（k為常數(shù)）與拋物線交于A，B兩點，且A點在y軸左側(cè)，P點的坐標為（0，﹣4），連接PA，PB．有以下說法：

①PO²=PA•PB；

②當k＞0時，（PA+AO）（PB﹣BO）的值隨k的增大而增大；

③當時，BP²=BO•BA；

④△PAB面積的最小值為．

其中正確的是      （寫出所有正確說法的序號）

 

Answer 1

【答案】

③④。

【解析】設A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．

聯(lián)立得：=kx，即x²﹣3kx﹣6=0，∴m+n=3k，mn=﹣6。

設直線PA的解析式為y=ax+b，將P（0，﹣4），A（m，km）代入得：

，解得。∴直線PA的解析式為。

令y=0，得x=，∴直線PA與x軸的交點坐標為（，0）。

同理可得，直線PB的解析式為，直線PB與x軸交點坐標為（，0）。

∵，

∴直線PA、PA與x軸的交點關(guān)于y軸對稱，即直線PA、PA關(guān)于y軸對稱。

①說法①錯誤，理由如下：

如答圖1所示，

∵PA、PB關(guān)于y軸對稱，∴點A關(guān)于y軸的對稱點A′落在PB上。

連接OA′，則OA=OA′，∠POA=∠POA′。

假設結(jié)論：PO²=PA•PB成立，即PO²=PA′•PB，∴。

又∵∠BOP=∠BOP，∴△POA′∽△PBO。

∴∠POA′=∠PBO。∴∠AOP=∠PBO。

而∠AOP是△PBO的外角，∴∠AOP＞∠PBO。矛盾。

∴說法①錯誤。

②說法②錯誤。理由如下：

易知：，∴。

由對稱可知，PO為△APB的角平分線，

∴。∴。

∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[﹣（）]

=（PA+AO）（PA﹣OA）=（PA²﹣AO²）。

如答圖2所示，過點A作AD⊥y軸于點D，則OD=﹣km，PD=4+km，

∴PA²﹣AO²=（PD²+AD²）﹣（OD²+AD²）

=PD²﹣OD²=（4+km）²﹣（﹣km）²=8km+16。

∵m+n=3k，∴k=（m+n）。

∴PA²﹣AO²=8•（m+n）•m+16=m²+mn+16=m²+×（﹣6）+16=m²。

∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA²﹣AO²）=•m²=﹣mn=﹣×（﹣6）=16。

∴（PA+AO）（PB﹣BO）為定值，所以說法②錯誤。

③說法③正確，理由如下：

當時，聯(lián)立方程組：，得A（，2），B（，﹣1），

∴BP²=12，BO•BA=2×6=12。∴BP²=BO•BA。故說法③正確。

④說法④正確，理由如下：

∵S_△PAB=S_△PAO+S_△PBO=OP•（﹣m）+OP•n=OP•（n﹣m）=2（n﹣m），

∴當k=0時，△PAB面積有最小值，最小值為。故說法④正確。

綜上所述，正確的說法是：③④。