Question

新定義：如果一個點的橫、縱坐標均為整數(shù)，那么我們稱這個點是“格點”．雙曲線（x＞0）與直線y₂=ax+b交于A（1，5）和B（5，t）．
（1）判斷點B是否為“格點”，并求直線AB的解析式；
（2）P（m，n）是圖中雙曲線與直線圍成的陰影部分內部（不包括邊界）的“格點”，試求點P的坐標．

Answer 1

解：（1）點B是“格點”，理由為：
把A（1，5）代入y₁=得：k=5，
∴y₁=，
將B（5，t）代入反比例解析式得：t=1，
∵5是整數(shù)，1也是整數(shù)，
∴點B是“格點”；
把A（1，5）和B（5，1）分別代入y₂=ax+b得：，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y₂=-x+6；
（2）∵P（m，n）是陰影部分內部（不包括邊界）的“格點”，
∴1＜m＜5，y₁＜y₂，且m、n都是整數(shù)，
∴m的值可能為2、3或4，
當m=2時，y₁=，y₂=4，那么n=3，得P（2，3）；
當m=3時，y₁=，y₂=3，那么n=2，得P（3，2）；
當m=4時，y₁=，y₂=2，那么此時n不存在，舍去，
∴P（2，3）或P（3，2）．
分析：（1）點B是“格點”，理由為：將A坐標代入反比例解析式求出k的值，確定出反比例解析式，將B坐標代入反比例解析式求出t的值，即可做出判斷；將A與B的坐標代入一次函數(shù)解析式求出a與b的值，即可確定出直線AB的解析式；
（2）根據P（m，n）是圖中雙曲線與直線圍成的陰影部分內部（不包括邊界）的“格點”，由圖象得到1＜m＜5，y₁＜y₂，且m、n都是整數(shù)，得到m可能為2，3，4，依次檢驗即可求出P的坐標．
點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標與圖形性質，利用了數(shù)形結合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．