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新定義:如果一個點的橫、縱坐標均為整數,那么我們稱這個點是“格點”.雙曲線(x>0)與直線y2=ax+b交于A(1,5)和B(5,t).
(1)判斷點B是否為“格點”,并求直線AB的解析式;
(2)P(m,n)是圖中雙曲線與直線圍成的陰影部分內部(不包括邊界)的“格點”,試求點P的坐標.

【答案】分析:(1)點B是“格點”,理由為:將A坐標代入反比例解析式求出k的值,確定出反比例解析式,將B坐標代入反比例解析式求出t的值,即可做出判斷;將A與B的坐標代入一次函數解析式求出a與b的值,即可確定出直線AB的解析式;
(2)根據P(m,n)是圖中雙曲線與直線圍成的陰影部分內部(不包括邊界)的“格點”,由圖象得到1<m<5,y1<y2,且m、n都是整數,得到m可能為2,3,4,依次檢驗即可求出P的坐標.
解答:解:(1)點B是“格點”,理由為:
把A(1,5)代入y1=得:k=5,
∴y1=
將B(5,t)代入反比例解析式得:t=1,
∵5是整數,1也是整數,
∴點B是“格點”;
把A(1,5)和B(5,1)分別代入y2=ax+b得:
解得:
∴直線AB的解析式為:y2=-x+6;
(2)∵P(m,n)是陰影部分內部(不包括邊界)的“格點”,
∴1<m<5,y1<y2,且m、n都是整數,
∴m的值可能為2、3或4,
當m=2時,y1=,y2=4,那么n=3,得P(2,3);
當m=3時,y1=,y2=3,那么n=2,得P(3,2);
當m=4時,y1=,y2=2,那么此時n不存在,舍去,
∴P(2,3)或P(3,2).
點評:此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題,涉及的知識有:待定系數法求函數解析式,坐標與圖形性質,利用了數形結合的思想,熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
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小明利用旋轉解決了這個問題,圖2中陰影部分所示的圖形即是與△ABC面積相等的新的旋轉對稱圖形.
請你參考小明同學解決問題的方法,利用圖形變換解決下列問題:
如圖3,在等邊△ABC中,E1、E2、E3分別為AB、BC、CA 的中點,P1、P2,M1、M2,N1、N2分別為AB、BC、CA的三等分點.
(1)在圖3中畫出一個和△ABC面積相等的新的旋轉對稱圖形,并用陰影表示(保留畫圖痕跡);
(2)若△ABC的面積為a,則圖3中△FGH的面積為
a
7
a
7

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如圖3,在等邊△ABC中,E1、E2、E3分別為AB、BC、CA 的中點,P 1、P2,M1、M2,N1、N2分別為AB、BC、CA的三等分點.
(1)在圖3中畫-個和△ABC面積相等的新的旋轉對稱圖形,并用陰影表示(保留畫圖痕跡);
(2)若△ABC的邊長為6,則圖3中△ABM1的面積為
3
3
3
3

(3)若△ABC的面積為a,則圖3中△FGH的面積為
a
7
a
7

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(2013•集美區一模)新定義:如果一個點的橫、縱坐標均為整數,那么我們稱這個點是“格點”.雙曲線y1=
kx
(x>0)與直線y2=ax+b交于A(1,5)和B(5,t).
(1)判斷點B是否為“格點”,并求直線AB的解析式;
(2)P(m,n)是圖中雙曲線與直線圍成的陰影部分內部(不包括邊界)的“格點”,試求點P的坐標.

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