Question

（1）如圖1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以點B為旋轉中心，將△BEC按逆時針旋轉∠ABC，得到△BE′A（點C與點A重合，點E到點E′處）連接DE′，
求證：DE′=DE．
（2）如圖2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．
求證：DE²=AD²+EC²．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據∠DBE=∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC，再由圖形旋轉的性質可知BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，故可得出∠DBE′=∠DBE，由全等三角形的性質即可得出△DBE≌△DBE′，故可得出結論；
（2）把△CBE逆時針旋轉90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知圖形旋轉后點C與點A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，所以∠DAE′=90°，由（1）證DE=DE′，再根據勾股定理即可得出結論．
解答：（1）證明：∵∠DBE=∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋轉而成，
∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，
∴∠DBE′=∠DBE，
在△DBE與△DBE′中，
∵，
∴△DBE≌△DBE′，
∴DE′=DE；

（2）證明：如圖所示：把△CBE逆時針旋轉90°，連接DE′，
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴圖形旋轉后點C與點A重合，CE與AE′重合，
∴AE′=EC，
∴∠E′AB=∠BCE=45°，
∴∠DAE′=90°，
在Rt△ADE′中，DE′²=AE′²+AD²，
∵AE′=EC，
∴DE′²=EC²+AD²，
同（1）可得DE=DE′，
∴DE′²=AD²+EC²，
∴DE²=AD²+EC²．
點評：本題考查的是圖形的旋轉及勾股定理，熟知旋轉前、后的圖形全等是解答此題的關鍵．