Question

（2003•荊州）如圖，△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，點P在AB邊上運動，且點P不與點A重合，過B、C、P三點的圓交AC于E，點E不與點C重合，設AP的長為x，四邊形PECB的周長為y．
（1）求y與x之間的函數關系式，并求出自變量的取值范圍；
（2）證明：＜y＜24．

Answer 1

【答案】分析：（1）、由勾股定理和割線定理求得BC，AE與x，PB與x，EC與x的關系即可；
（2）、作CF⊥AB，垂足為F．則Rt△AFC∽Rt△ACB，AP：AC=AC：AB，由E與C，P與F的關系可求得x的取值范圍，即可得到y的取值范圍．
解答：（1）解：在Rt△ABC中，由勾股定理知，BC=6．
∵四邊形BCEP是圓內接四邊形，∠C=90°，
∴∠EPB=90°，
∵AB，AC是圓的割線，∴AP•AB=AE•AC
∴AE==x．
∴在Rt△APE中，由勾股定理知，PE=x，
∵CE=AC-AE=8-x，PB=AB-AP=10-x，
∴四邊形PECB的周長y=PE+PB+EC+BC=6+10-x+8-+x=24-x．

（2）證明：當點E與C重合時，圓變為△PBC的外接圓，故BCEP不能成四邊形，所以此時的AP的長為最大值．
作CF⊥AB，垂足為F，則Rt△AFC∽Rt△ACB，AF：AC=AC：AB，解得AF=，即x＜，所以y＞．
由于點P不與A重合，所以x＞0，y＜24，故有＜y＜24．
點評：本題利用了勾股定理，圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定和性質求解．