Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦CD⊥AB于點H，E為AB延長線上一點，CE交⊙O于點F；
（1）求證：BF平分∠DFE；
（2）若DF=EF，BE=5，CH=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，因為四邊形BDCE是⊙O的內接四邊形，根據圓內接四邊形的性質可求出角相等，判斷出直徑，進而求出結果．
（2）根據條件判斷出△FBD≌△FBE，得到DB=DE，進而求出ACH∽△DBH，根據相似三角形的線段對應成比例可求出解．
解答：（1）證明：連BD，∵四邊形BDCE是⊙O的內接四邊形，
∴∠CDB+∠CFB=180°，
∵∠EFB+∠CFB=180°，
∴∠EFB=∠CDB，
∵AB是直徑，弦CD⊥AB，
∴，
∴∠DFB=∠CDB，
∴∠DFB=∠EFB，
∴BF平分∠DFE；

（2）解：∵DF=EF，∠DFB=∠EFB，
∵FE=FE，
∴△FBD≌△FBE，
∴DB=BE=5，
∵AB是直徑，弦CD⊥AB，
∴DH=CH=3，
∴BH=4，連AC，則△ACH∽△DBH，
∴AH•BH=CH•DH，
∴AH=，
∴直徑AB=，
∴⊙O的半徑為．
點評：本題考查相似三角形的判定和性質定理，相似三角形的判定和性質定理，以及圓周角定理，圓內接四邊形的性質等知識點．