Question

為了抓住世博會商機，某商店決定購進A，B兩種世博會紀念品，若購進A種紀念品10件，B種紀念品5件，需要1000元；若購進A種紀念品4件，B種紀念品3件，需要550元，
（1）求購進A，B兩種紀念品每件需多少元？
（2）若該商店決定拿出1萬元全部用來購進這兩種紀念品，考慮到市場需求，要求購進A種紀念品的數量不少于B種紀念品數量的6倍，且不超過B種紀念品數量的8倍，那么該商店共有幾種進貨方案？
（3）若銷售每件A種紀念品可獲利潤20元，每件B種紀念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？

Answer 1

分析：（1）關系式為：A種紀念品10件需要錢數+B種紀念品5件錢數=1000；A種紀念品4件需要錢數+B種紀念品3件需要錢數=550；
（2）關系式為：A種紀念品需要的錢數+B種紀念品需要的錢數≤10000；購進A種紀念品的數量不少于B種紀念品數量的6倍，且不超過B種紀念品數量的8倍；
（3）計算出各種方案的利潤，比較即可．

解答：解：（1）設A，B兩種紀念品每件需x元，y元．

10x+5y=1000 4x+3y=550

，
解得：

x=25 y=150

．
答：A，B兩種紀念品每件需25元，150元；

（2）設購買A種紀念品a件，B種紀念品b件．

25a+150b=10000 6b≤a≤8b

，
解得

200

7

≤b≤

100

3

．
則b=29；30；31；32；33；
則a對應為 226，220；214；208，202．
答：商店共有5種進貨方案：進A種紀念品226件，B種紀念品29件；或A種紀念品220件，B種紀念品30件；或A種紀念品214件，B種紀念品31件；或A種紀念品208件，B種紀念品32件；或A種紀念品202件，B種紀念品33件；

（3）解法一：方案1利潤為：226×20+29×30=5390（元）；
方案2利潤為：220×20+30×30=5300（元）；
方案3利潤為：214×20+30×31=5210（元）；
方案4利潤為：208×20+30×32=5120（元）；
方案5利潤為：202×20+30×33=5030（元）；
故A種紀念品226件，B種紀念品29件利潤較大為5390元．

解法二：解：設利潤為W元，則W=20a+30b，
∵25a+150b=1000，
∴a=400-6b，
∴代入上式得：W=8000-90b，
∵-90＜0，
∴W隨著b的增大而減小，∴當b=29時，W最大，即此時a=226時，W最大，
∴W_最大=8000-90×29=5390（元），
答：方案獲利最大為：A種紀念品226件，B種紀念品29件，最大利潤為5390元．

點評：解決本題的關鍵是讀懂題意，找到符合題意的相應的關系式是解決問題的關鍵，注意第二問應求得整數解．