Question

（2012•丹徒區模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：CD=DB；
（2）求證：DE為⊙O的切線；
（3）若⊙O的半徑為2

3

，∠BAC=60°，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）推出AD⊥BC，根據等腰三角形的三線合一定理推出即可；
（2）求出OD∥AC，推DE⊥OD，根據切線的判定推出即可；
（3）求出CD，AD的長，證△CDE∽△CAD，得出比例式，求出即可．

解答：
（1）證明：連接AD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∵AC=AB，
∴CD=DB（三線合一）；

（2）證明：連接OD，
∵CD=DB，AO=OB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是半徑，
∴DE為⊙O的切線；

（3）解：∵AC=AB，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=BC=4

3

，∠B=60°，
∵∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ADB中，BD=DC=

1

2

AB=2

3

，AB=4

3

，由勾股定理得：AD=6，
∵AC=AB，CD=DB，
∴∠CAD=30°，
∵∠ADB=90°，O是AB中點，
∴OD=

1

2

AB=OB，
∴∠ODB=∠B=60°，
∵DE是⊙O切線，
∴∠EDO=90°，
∴∠EDC=180°-90°-60°=30°=∠CAD，
即∠CDE=∠CAD，
∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴

CD

AC

=

DE

AD

，
∴

2 3

4 3

=

DE

6

，
∴DE=3．

點評：本題考查了切線的性質和判定，圓周角定理，平行線的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線的性質等知識點的綜合運用．