Question

如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊的中點，AC與BE相交于點F，連接DF．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）連接AE，試判斷AE與DF的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAF=∠BAF=45°，
在△ADF與△ABF中，，
∴△ADF≌△ABF（SAS），
∴∠1=∠2；

（2）如圖：AE⊥DF．
設AE與DF相交于點H，
∵四邊形ABCD是正方形，E是DC的中點，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴∠3=∠4，
又∵∠1=∠2（已證），
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴∠AHD=90°，
∴AE⊥DF．
分析：（1）根據正方形的四條邊都相等，AB=AD，每一條對角線平分一組對角∠DAC=∠BAC，而AF是△ADF和△ABF的公共邊，所以兩三角形全等，再根據全等三角形對應角相等即可證明；
（2）根據E是CD邊的中點，先證明△ADE和△BCE全等，根據全等三角形對應角相等∠DAE=∠CBE，而∠2+∠CBE=90°，所以∠1+∠DAE=90°，所以AE⊥DF．
點評：本題主要考查正方形的性質和全等三角形的判定定理和全等三角形的性質，熟練掌握定理和性質是解題的關鍵．