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(2010•西寧)(1)班同學上數學活動課,利用角尺平分一個角(如圖所示).設計了如下方案:
(Ⅰ)∠AOB是一個任意角,將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間,移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合,即PM=PN,過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.
(Ⅱ)∠AOB是一個任意角,在邊OA、OB上分別取OM=ON,將角尺的直角頂點P介于射線OA、OB之間,移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合,即PM=PN,過角尺頂點P的射線OP就是∠AOB的平分線.
(1)方案(Ⅰ)、方案(Ⅱ)是否可行?若可行,請證明;若不可行,請說明理由;
(2)在方案(Ⅰ)PM=PN的情況下,繼續移動角尺,同時使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?請說明理由.

【答案】分析:(1)方案(Ⅰ)中判定PM=PN并不能判斷P就是∠AOB的角平分線,關鍵是缺少△OPM≌△OPN的條件,只有“邊邊”的條件;
方案(Ⅱ)中△OPM和△OPN是全等三角形(三邊相等),則∠MOP=∠NOP,所以OP為∠AOB的角平分線;
(2)可行.此時△OPM和△OPN都是直角三角形,可以利用HL證明它們全等,然后利用全等三角形的性質即可證明OP為∠AOB的角平分線.
解答:解:(1)方案(Ⅰ)不可行.缺少證明三角形全等的條件,
∵只有OP=OP,PM=PN不能判斷△OPM≌△OPN;
∴就不能判定OP就是∠AOB的平分線;
方案(Ⅱ)可行.
證明:在△OPM和△OPN中,

∴△OPM≌△OPN(SSS),
∴∠AOP=∠BOP(全等三角形對應角相等);
∴OP就是∠AOB的平分線.

(2)當∠AOB是直角時,此方案可行;
∵四邊形內角和為360°,∠OMP=∠ONP=90°,∠MPN=90°,
∴∠AOB=90°,
∵PM=PN,
∴OP為∠AOB的平分線.(到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上),
當∠AOB不為直角時,此方案不可行;
因為∠AOB必為90°,如果不是90°,則不能找到同時使PM⊥OA,PN⊥OB的點P的位置.
點評:此題主要考查了全等三角形的判定與性質,是一個開放性試題,可以提高學生解決實際的能力.
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