Question

如圖，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動點M從點A出發，以1cm∕秒的速度向點B運動，動點N從點C出發，以2cm∕秒的速度向點A運動，若兩點同時運動，是否存在某一時刻t，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：首先設經過t秒時，△AMN與△ABC相似，可得AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），然后分別從當MN∥BC時，△AMN∽△ABC與當∠AMN=∠C時，△ANM∽△ABC去分析，根據相似三角形的對應邊成比例即可求得答案．

解答：解：存在t=3秒或4.8秒，使以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似（無此過程不扣分）
設經過t秒時，△AMN與△ABC相似，
此時，AM=t，CN=2t，AN=12-2t（0≤t≤6），
（1）當MN∥BC時，△AMN∽△ABC，（1分）
則

AM

AB

=

AN

AC

，即

t

6

=

12-2t

12

，（3分）
解得t=3；（5分）

（2）當∠AMN=∠C時，△ANM∽△ABC，（6分）
則

AM

AC

=

AN

AB

，即

t

12

=

12-2t

6

，（8分）
解得t=4.8；（10分）
故所求t的值為3秒或4.8秒．（11分）

點評：此題考查了平行線的性質與判定．此題難度適中，解此題的關鍵是分類討論思想與數形結合思想的應用．