Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，點D是斜邊AC上的中點，過點D作斜邊AC的垂線，交CB的延長線于點E，將DE繞點D按逆時針方向旋轉60°后得到線段DF，連接AF、EF．
（1）求∠CED的度數；
（2）證明：四邊形ABEF是矩形．

Answer 1

分析：（1）求出∠C=60°，根據三角形內角和定理求出即可．
（2）證△ABC≌△EDC，推出AB=DE=DF，求出△DFE是等邊三角形，求出AB=EF，∠DEF=60°，求出AB∥EF，即可推出答案．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴∠C=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=90°，
∴在△CDE中，∠CED=180°-∠C-∠CDE=30°．

（2）證明：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AC，
∵D為AC中點，
∴CD=

1

2

AC，
∴CD=BC，
在△ABC和△EDC中

∠C=∠C CB=CD ∠ABC=∠EDC

∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
∵DF是由線段ED繞點D逆時針旋轉60°得到，
∴DE=DF，∠EDF=60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴ED=EF，∠DEF=60°，
∴AB=EF，∠CEF=90°，
∴AB∥EF，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵∠CEF=90°，
∴平行四邊形ABEF是矩形．

點評：本題考查了三角形內角和定理，矩形的判定，旋轉的性質，等邊三角形的性質和判定，平行四邊形的判定的應用，主要考查學生的推理能力．