Question

如圖，一次函數的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且A點的坐標為（

2

，0），點C、D分別在第一、三象限，且此一次函數與反比例函數圖象交于C、D兩點，又OA=OB=AC=BD．
（1）求一次函數與反比例函數的解析式．
（2）在y軸上是否存在點P，使△BCP為等腰直角三角形？若存在，請寫出所有符合條件的P點坐標（不用寫出計算過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作CE⊥x軸于E，由OA=OB可知△ACE是等腰直角三角形，OA=OB，且A（

2

，0），則B（0，-

2

）代入一次函數的解析式為y=kx+b可求直線AB的解析式，由AC=

2

，可求AE=CE=1，故C（1+

2

，1），代入反比例函數的解析式為y=

m

x

可求反比例函數的解析式；
（2）過C點作CP⊥y軸，或過c點作CP⊥AC，交y軸于P′，根據等腰直角三角形的性質可求滿足條件的P點坐標．

解答：解：（1）設一次函數的解析式為y=kx+b（k≠0），反比例函數的解析式為y=

m

x

（m≠O），
∵OA=OB，A（

2

，0），
∴B（0，-

2

），
∴可得：

2 k+b=0 b=- 2

，解得：

b=- 2 k=1

，
∴y=x-

2

，
作CE⊥x軸于E，則△ACE是等腰直角三角形，
∴AE=CE=

2

sin45°=1，
∴C（1+

2

，1），
∴1=

m

1+ 2

，解得m=1+

2

，
∴y=

1+ 2

x

；

（2）存在，P點坐標分別是（0，1）或（0，2+

2

）．

點評：本題考查了點的坐標的求解與一次函數、反比例函數關系式的確定方法．運用待定系數法是解題的關鍵．