Question

已知：如圖，把長方形紙片ABCD沿EF折疊后，點D與點B重合，點C落在點C′的位置上．若∠1=60°，AE=1．
（1）求∠2、∠3的度數；
（2）若長方形PQRS的頂點分別在AB、AE和BE上，試求正方形PQRS的邊長．

Answer 1

分析：（1）根據AD∥BC，∠1與∠2是內錯角，因而就可以求得∠2，根據圖形的折疊的定義，可以得到∠BEF=∠2，進而就可以求的∠3的度數；
（2）根據四邊形PQRS是正方形，得出在直角△QRE中，由（1）知∠3=60°，則∠EQR=30°，即可得出∠AQP=60°，∠APQ=30°，進而利用直角三角形中30°所對邊等于斜邊的一半得出關于AE的等式方程求出即可．

解答：解：（1）由AD∥BC，
∴∠2=∠1=60°；
又∠BEF=∠2=60°，
∴∠3=180-60-60=60°．

（2）∵四邊形PQRS是正方形，得出在直角△QRE中，由（1）知∠3=60°，
則∠EQR=30°，
∴在直角△APQ中，∠AQP=90°-30°=60°，
∴∠APQ=90°-60°=30°；
設AQ=x，則PQ=2x，
∴QR=2x，故QE=

4 3

3

x，
∵AE=1，
∴AQ+QE=x+

4 3

3

x=1，
解得：x=

4 3 -3

13

，
∴QR=2×

4 3 -3

13

=

8 3 -6

13

．
∴正方形PQRS的邊長為：

8 3 -6

13

．

點評：此題主要考查了圖象的翻折變換以及正方形的性質，利用已知圖形的折疊就是已知兩個圖形全等，要注意弄清題目中的已知條件得出∠BEF=∠2是解題關鍵．