Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分線；以BC為直徑的⊙O交BD于點E，連接CE并延長交AB于點F，連接DF，

（1）補全圖中圖形；(要求：清晰、準確，標出相應字母，不寫作法，不必保留作圖痕跡)

（2）DC=DF；

（3）若AC=8，BC=6，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）CF．

【解析】

（1）由題意畫出圖形；

（2）通過證明△BEF≌△BEC，可得EF=CE，可得BD是CF的垂直平分線，即DF=CD；

（3）由勾股定理可求AB的長，CD的長，BD的長，由三角形面積公式可求CE的長，即可求CF的長．

（1）如圖，

（2）∵BC是直徑，

∴∠CEB=90°．

∵BD平分∠CBF，

∴∠FBD=∠CBD，且BD=BD，∠CEB=∠BEF=90°，

∴△BEF≌△BEC(ASA)，

∴EF=CE，且BD⊥CF，

∴BD是CF的垂直平分線，

∴DF=CD

（3）∵AC=8，BC=6，

∴AB10．

∵△BEF≌△BEC，

∴BF=BC=6，

∴AF=4，

∵BD是CF的垂直平分線，即點C、點F關于直線BD對稱，

∴∠BFD=∠BCD=90°，

∴∠AFD=90°，

在Rt△AFD中，AD2=AF2+DF2，

∴(8﹣CD)2=16+CD2，

∴CD=3，

∴BD3

∵S△BCDBC×CDBD×CE，

∴3×6=3CE，

∴CE，

∴CF=2CE．