Question

問題背景:
如圖（a）,點A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關(guān)于l的對稱點B′,連接A B′與直線l交于點C，則點C即為所求.

（1）實踐運用：
如圖(b)，已知，⊙O的直徑CD為4，點A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 為弧AD 的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為       ．
（2）知識拓展：
如圖(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程．

Answer 1

解：（1）。
（2）如圖，在斜邊AC上截取AB′=AB，連接BB′。

∵AD平分∠BAC，∴點B與點B′關(guān)于直線AD對稱。
過點B′作B′F⊥AB,垂足為F，交AD于E，連接BE。
則線段B′F的長即為所求 (點到直線的距離最短) 。
在Rt△AFB^/中，∵∠BAC=45⁰, AB^/="AB=" 10，
∴。
∴BE+EF的最小值為

試題分析：（1）找點A或點B關(guān)于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置，根據(jù)題意先求出∠C′AE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：
如圖作點B關(guān)于CD的對稱點E，連接AE交CD于點P，此時PA+PB最小，且等于A。作直徑AC′，連接C′E，
根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DE。

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°。∴∠AOE=90°。
∴∠C′AE=45°。
又AC為圓的直徑，∴∠AEC′=90°。
∴∠C′=∠C′AE=45°。∴C′E=AE=AC′=。
∴AP+BP的最小值是。
（2）首先在斜邊AC上截取AB′=AB，連接BB′，再過點B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連接BE，則線段B′F的長即為所求。