Question

（本小題滿分9分）
在中，，點在所在的直線上運動，作（按逆時針方向）．
（1）如圖1，若點在線段上運動，交于．
①問△ABD與△DCE相似嗎?為什么?
②當是等腰三角形時，求的長．
（2）①如圖2，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由；
②如圖3，若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

①證明：……………………………………………………1分
理由是:在中，∵
∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45°

………………2分

∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135°

………………3分

∴∠ADB=∠DEC    

∴          
② 當是等腰三角形時,分以下三種情況討論
第一種情況：DE=AE
∵DE=AE
∴∠ADE=∠DAE=45°

………………4分

∴ ∠AED=90°, 此時，E為AC的中點，

∴AE=AC=1.
第二種情況：AD=AE（D與B重合）
AE=2………………………………………………………………………………5分
第三種情況 ：AD=AE
如果AD=DE，由于，
∴ △ABD≌△DCE,
∴BD=CE,AB=DC,設BD=CE= 
在中，∵，
∴ BC=, DC=－
∴－="2" ,解得，=－2 ，
∴ AE=" 4" －2……………………………………………………………6分
綜上所述：AE的值是1，2，4 －2
(2)①存在。

………………7分

當D在BC的延長線上，且CD=CA時，是等腰三角形.

證明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,
∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°,
∴ ∠ADC=∠DEC,又CD="CA" ，
∴ ∠CAD=∠CDA ,
∴ ∠CAD=∠CED ,
∴DA=DE′,

………………8分

∴ 是等腰三角形.

②不存在.
因為∠ACD=45°＞∠E , ∠ADE=45°

………………9分

∴∠ADE≠∠E

∴不可能是等腰三角形。

解析