Question

如圖，在⊙C的內接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=，拋物線y=a（x-2）²+m（a≠0）經過點A（4，0）與點（-2，6）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）直線m與⊙C相切于點A，交y軸于點D，動點P在線段OB上，從點O出發向點B運動，同時動點Q在線段DA上，從點D出發向點A運動，點P的速度為每秒1個單位長，點Q的速度為每秒2個單位長．當PQ⊥AD時，求運動時間t的值．

Answer 1

解：（1）將點A（4，0）和點（-2，6）的坐標代入y=a（x-2）²+m中，得方程組，

解得，
故拋物線的解析式為y=x²-2x．

（2）如圖所示，連接AC交OB于E．作OF⊥AD于F，
∵直線m切⊙C于點A，
∴AC⊥m．
∵弦AB=AO，
∴=．
∴AC⊥OB，
∴m∥OB．
∴∠OAD=∠AOB．
∵OA=4，tan∠AOB=，
∴OD=OA•tan∠OAD=4×=3．
則OF=OA•sin∠OAD=4×=2.4．
t秒時，OP=t，DQ=2t，
若PQ⊥AD，則 FQ=OP=t．DF=DQ-FQ=t．
∴△ODF中，t=DF==1.8（秒）．
分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式解析式即可；
（2）連接AC交OB于E，作OF⊥AD于F，得出m∥OB，進而求出OD，OF的長，進而利用勾股定理得出DF的長．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及垂徑定理的推論和勾股定理等知識，根據切線的性質以及銳角三角函數關系得出OF的長是解題關鍵．