Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=

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．對角線AC、BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉，分別交BC、AD于點E、F．在旋轉過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉的最小度數．

Answer 1

分析：首先由四邊形ABCD為平行四邊形，利用ASA證得△AOF≌△COE，然后可得OE=OF，又由OB=OD，可證得四邊形BEDF是平行四邊形，所以得當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=

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，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°，求得∠AOF=45°，則可得此時AC繞點O順時針旋轉的最小度數為45°．

解答：解：四邊形BEDF可以是菱形．
理由：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO，AD∥BC，OB=OD，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中，

∠FAO=∠ECO OA=OC ∠AOF=∠COE

，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，
在Rt△ABC中，AC=

BC2-AB2

=2，
∴OA=1=AB，
又∵AB⊥AC，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOF=45°，
∴AC繞點O順時針旋轉45°時，四邊形BEDF為菱形，
即此時AC繞點O順時針旋轉的最小度數為45°．

點評：此題考查了平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質、旋轉的性質以及全等三角形的判定與性質．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數形結合思想的應用，注意掌握旋轉前后圖形的對應關系．