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如圖,平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中,AD=6,若OA、OB的長是關于x的一元二精英家教網次方程x2-7x+12=0的兩個根,且OA>OB.
(1)求
OA
AB
的值.
(2)若E為x軸上的點,且S△AOE=
16
3
,求經過D、E兩點的直線的解析式,并判斷△AOE與△DAO是否相似?
(3)若點M在平面直角坐標系內,則在直線AB上是否存在點F,使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形?若存在,請直接寫出F點的坐標;若不存在,請說明理由.
分析:(1)解一元二次方程求出OA,OB的長度,再利用勾股定理求出AB的長度,再代入計算即可;
(2)先根據三角形的面積求出點E的坐標,并根據平行四邊形的對邊相等的性質求出點D的坐標,然后利用待定系數法求解直線的解析式;分別求出兩三角形夾直角的兩對應邊的比,如果相等,則兩三角形相似,否則不相似;
(3)根據菱形的性質,分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況,以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算.
解答:解:(1)x2-7x+12=0,
(x-3)(x-4)=0,
∴x-3=0,x-4=0,
解得x1=3,x2=4,
∵OA>OB,
∴OA=4,OB=3,
在△AOB中,AB=
OA2+OB2
=
42+32
=5,
∴sin∠ABC=
OA
AB
=
4
5


(2)根據題意,設E(x,0),則
S△AOE=
1
2
×OA×x=
1
2
×4x=
16
3

解得x=
8
3

∴E(
8
3
,0)或(-
8
3
,0),
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴點D的坐標是(6,4),
設經過D、E兩點的直線的解析式為y=kx+b,
則①
8
3
k+ b=0
6k+b=4

解得
k=
6
5
b=-
16
5

∴解析式為y=
6
5
x-
16
5

-
8
3
k+ b=0
6k+b=4

解得
k=
6
13
b=
16
13

解析式為:y=
6
13
x+
16
13

在△AOE與△DAO中,
OA
OE
=
4
8
3
=
3
2

AD
OA
=
6
4
=
3
2

OA
OE
=
AD
OA

又∵∠AOE=∠OAD=90°,
∴△AOE∽△DAO;

(3)根據計算的數據,OB=OC=3,
∴AO平分∠BAC,
①AC、AF是鄰邊,點F在射線AB上時,AF=AC=5,
所以點F與B重合,
即F(-3,0),
②AC、AF是鄰邊,點F在射線BA上時,M應在直線AD上,且FC垂直平分AM,
點F(3,8).
③AC是對角線時,做AC垂直平分線L,AC解析式為y=-
4
3
x+4,直線L過(
3
2
,2),且k值為
3
4
(平面內互相垂直的兩條直線k值乘積為-1),
L解析式為y=
3
4
x+
7
8
,聯立直線L與直線AB求交點,
∴F(-
75
14
,-
22
7
),精英家教網
④AF是對角線時,過C做AB垂線,垂足為N,根據等積法求出CN=
24
5
,勾股定理得出,AN=
7
5
,做A關于N的對稱點即為F,AF=
14
5
,過F做y軸垂線,垂足為G,FG=
14
5
×
3
5
=
42
25

∴F(-
42
25
44
25
).
綜上所述,滿足條件的點有四個:F1(-3,0);F2(3,8);F3(-
75
14
,-
22
7
);F4(-
42
25
44
25
).
點評:本題考查了解一元二次方程,相似三角形的性質與判定,待定系數法求函數解析式,綜合性較強,(3)求點F要根據AC與AF是鄰邊與對角線的情況進行討論,不要漏解.
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