Question

已知方程m²x²-（4m+3）x+4=0有兩個不相等的實數根x₁、x₂，設S=

1

x1

+

1

x2

，則S的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由方程m²x²-（4m+3）x+4=0有兩個不相等的實數根，得到m²≠0，且△＞0，即△=（4m+3）²-4×4m²=24m+9＞0，從而求出m的范圍為：m＞-

3

8

且m≠0；再利用根與系數的關系用m表示S=

1

x1

+

1

x2

=

x1 x2

x1x2

=

4m+3

4

=m+

3

4

，再根據m＞-

3

8

且m≠0確定S的范圍．

解答：解：∵方程m²x²-（4m+3）x+4=0有兩個不相等的實數根，
∴m²≠0，且△＞0，即△=（4m+3）²-4×4m²=24m+9＞0，
解不等式組得m的范圍為：m＞-

3

8

且m≠0；
∵x₁+x2=-

-(4m+3)

m 2

，x₁x2=

4

m 2

∴S=

1

x1

+

1

x2

=

x1 x2

x1x2

=

4m+3

4

=m+

3

4

，
∵m＞-

3

8

且m≠0；
∴S＞

3

8

且m≠

3

4

．
所以S的取值范圍是S＞

3

8

且m≠

3

4

．
故答案為S＞

3

8

且m≠

3

4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了一元二次方程根與系數的關系和不等式的解法．