Question

如圖，已知點B（1，3），C（1，0），直線y=x+k經過點B，且與x軸交于點A，將△ABC沿直線AB折疊得到△ABD．
（1）填空：A點坐標為（

 

，

 

），D點坐標為（

 

，

 

）；
（2）若拋物線y=

1

3

x²+bx+c經過C，D兩點，求拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線沿y軸向上平移，設平移后所得拋物線與y軸交點為E，點M是平移后的拋物線與直線AB的公共點，在拋物線平移過程中是否存在某一位置使得直線EM∥x軸．若存在，此時拋物線向上平移了幾個單位？若不存在，請說明理由．
（提示：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=-

b

2a

，頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

Answer 1

分析：（1）A、D兩坐標可由圖象看出．（2）拋物線y=

1

3

x²+bx+c經過C（1，0），D（-2，3），兩點代入解析式，解得b、c．（3）當點M在拋物線對稱軸的左側或在拋物線的頂點時，僅當M，E重合時，它們的縱坐標相等，故知道EM不會與x軸平行，設拋物線向上平移H個單位能使EM∥x軸，寫出平移后的解析式，根據拋物線的對稱性，可知點M的坐標為（2，

1

3

+h）時，直線EM∥x軸，將點M代入直線y=x+2，解得h．

解答：解：（1）A（-2，0），D（-2，3）

（2）∵拋物線y=

1

3

x²+bx+c經過C（1，0），D（-2，3）代入，解得：b=-

2

3

，c=

1

3

∴所求拋物線解析式為：y=

1

3

x²-

2

3

x+

1

3

；

（3）答：存在．
∵當點M在拋物線對稱軸的左側或在拋物線的頂點時，僅當M，E重合時，它們的縱坐標相等．
∴EM不會與x軸平行，
當點M在拋物線的右側時，
設拋物線向上平移H個單位能使EM∥x軸，
則平移后的拋物線的解析式為
∵y=

1

3

（x-1）²+h，
∴拋物線與y軸交點E（0，

1

3

+h），
∵拋物線的對稱軸為：x=1，
根據拋物線的對稱性，可知點M的坐標為（2，

1

3

+h）時，直線EM∥x軸，
將（2，

1

3

+h）代入y=x+2得

1

3

+h=2+2
解得：h=

11

3

．
∴拋物線向上平移

11

3

個單位能使EM∥x軸．

點評：本題二次函數的綜合題，要求會求二次函數的解析式，考查平移等知識點，本題步驟有點多，做題需要細心．