Question

如圖，在△ABD中，AB=AD，AO平分∠BAD，過點D作AB的平行線交AO的延長線于點C，連接BC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果OA，OB（OA＞OB）的長（單位：米）是一元二次方程x²-7x+12=0的兩根，求AB的長以及菱形ABCD的面積；
（3）若動點M從A出發，沿AC以2m/S的速度勻速直線運動到點C，動點N從B出發，沿BD以1m/S的速度勻速直線運動到點D，當M運動到C點時運動停止．若M、N同時出發，問出發幾秒鐘后，△MON的面積為

1

4

m2？

Answer 1

分析：（1）根據題意，用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”先判定平行四邊形，再用鄰邊相等證明菱形；
（2）解方程可得OA、OB的長，用勾股定理可求AB，根據“菱形的面積對應對角線積的一半”計算連線面積；
（3）根據點M、N運動過程中與O點的位置關系，分三種情況分別討論．

解答：（1）證明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA
∴△ACD是等腰三角形，AD=DC
又∵AB=AD
∴AB=CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
又∵AB=AD，∴?ABCD是菱形；

（2）解：解方程x²-7x+12=0，得
OA=4，OB=3，
利用勾股定理AB=

OA2+OB2

=5，
S_菱形ABCD=

1

2

AC×BD=

1

2

×8×6=24平方米．

（3）解：在第（2）問的條件下，設M、N同時出發x秒鐘后，△MON的面積為

1

4

m2，
當點M在OA上時，x≤2，S_△MON=

1

2

（4-2x）（3-x）=

1

4

；
解得x₁=

5- 2

2

，x₂=

5+ 2

2

（大于2，舍去）；
當點M在OC上且點N在OB上時，2＜x＜3，S_△MON=

1

2

（3-x）（2x-4）=

1

4

，
解得x₁=x₂=

5

2

；
當點M在OC上且點N在OD上時，即3≤x≤4，S_△MON=

1

2

（2x-4）（x-3）=

1

4

；
解得x₁=

5+ 2

2

，x₂=

5- 2

2

（小于3，舍去）．
綜上所述：M，N出發

5- 2

2

秒，

5

2

秒，

5+ 2

2

秒鐘后，△MON的面積為

1

4

m2．

點評：本題考查了菱形的判定方法，菱形的面積計算方法，分類討論的數學思想．