Question

如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，將A、D重合折疊，折痕交AB于E，交AC于F，連接DE、DF，
（1）判斷四邊形AEDF的形狀并說明理由；
（2）若AB=6，AC=8，求DF的長．

Answer 1

解：（1）四邊形AEDF是菱形．
理由：由折疊的性質可得：AE=ED，AF=FD，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∴AE∥DF，AF∥ED，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴AE=DF，AF=DE，
∴AE=ED=DF=AF，
∴四邊形AEDF是菱形；

（2）設DF=x，則AF=x，
∴CF=AC-AF=8-x，
∵DF∥AB，
∴△CDF∽△CBA，
∴，
即，
解得：x=，
∴DF=．
分析：（1）首先由折疊的性質可得：AE=ED，AF=FD，又由AD平分∠BAC，易證得四邊形AEDF是平行四邊形，則可得AE=ED=DF=AF，繼而可證得四邊形AEDF是菱形；
（2）首先設DF=x，由DF∥AB，即可證得△CDF∽△CBA，然后由相似三角形的對應邊成比例，即可求得DF的長．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、菱形的判定與性質以及折疊的性質．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．