Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧交AB于M、AC于N，再分別以M、N為圓心，大于

1

2

MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于D，下列四個結論：
①AD是∠BAC的平分線；
②∠ADC=60°；
③點D在AB的中垂線上；
④S_△ACD：S_△ACB=1：3．
其中正確的有（　　）

A．只有①②③

B．只有①②④

C．只有①③④

D．①②③④

Answer 1

分析：利用角平分線的性質以及各內角度數和三角形面積求法分別得出即可．

解答：解：根據作圖方法可得AD是∠BAC的平分線，故①正確；
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠DAC=∠DAB=30°，
∴∠ADC=60°，故②正確；
∵∠B=30°，∠DAB=30°，
∴AD=DB，
∴點D在AB的中垂線上，故③正確；
∵∠CAD=30°，
∴CD=

1

2

AD，
∵AD=DB，
∴CD=

1

2

DB，
∴CD=

1

3

CB，
S_△ACD=

1

2

CD•AC，S_△ACB=

1

2

CB•AC，
∴S_△ACD：S_△ACB=1：3，故④正確，
故選：D．

點評：此題主要考查了角平分線的性質以及三角形面積求法等知識，根據角平分線的性質得出∠DAC=∠DAB=30°是解題關鍵．