Question

【題目】在中，對角線AC、BD交于點O，且分別平分∠DAB，∠ABC．

（1）請求出∠AOB的度數，寫出AD、AB、BC之間的等量關系，并給予證明．

（2）設點P為對角線AC上一點，PB=5，若AD+BC=16，四邊形ABCD的面積為，求AP的長．

Answer 1

【答案】（1），；證明見解析；（2）的長為．

【解析】

（1）根據平行四邊形的性質可得，由AC、BD分別平分∠DAB、∠ABC可得，根據三角形內角和定理即可得∠AOB的度數；根據平行線的性質可得，即可證明，可得AB=BC，根據平行四邊形的性質可得；

（2）根據AD+BC=16可得=8，當∠ABC＞90°時，過點作，根據四邊形ABCD的面積可得DE的長，利用勾股定理可求出AE的長，進而可證明△DAB是等邊三角形，根據含30°角的直角三角形的性質可得OA、OB的長，根據PB=5，利用勾股定理可得OP的長，即可求出AP的長；當∠ABC＜90°時，可得OB＞5，不符合題意，綜上即可得答案．

（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴，

∴，

∵AC、BD分別平分∠DAB、∠ABC，

∴，

∴，

之間的等量關系為，

∵，

∴，

∵AC平分，

，

四邊形為平行四邊形，

（2）∵，

∴，

①如圖，當時，

過點作，

∵四邊形的面積為，

，

，

點為的中點，，

為等邊三角形，

∵∠AOB=90°，

，

∵，

或．

②如圖，當時，

，AE=4，

∴BE=12，

∴BD==，

∴，

所以這樣的點不存在，故排除．

綜上所述：的長為．