Question

如圖，四邊形ACDE、BAFG是以△ABC的邊AC、AB為邊向△ABC外所作的正方形．
求證：（1）EB=FC．
（2）EB⊥FC．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ACDE、BAFG都是正方形，
∴AB=AF，AC=AE，∠BAF=∠CAE=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△AFC中，，
∴△ABE≌△AFC（SAS），
∴EB=FC；

（2）∵△ABE≌△AFC，
∴∠AEB=∠ACF，
連接CE，設EB、CF相交于O，
則∠OEC+∠OCE=∠OEC+∠ACE+∠BEA=∠ACE+∠AEC=90°，
在△OCE中，∠COE=180°-（∠OEC+∠OCE）=180°-90°=90°，
∴EB⊥FC．
分析：（1）根據正方形的性質可得AB=AF，AC=AE，∠BAF=∠CAE=90°，然后求出∠BAE=∠CAF，再利用“邊角邊”證明△ABE和△AFC全等，根據全等三角形對應邊相等可得EB=CF；
（2）根據全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠ACF，連接CE，設EB、CF相交于O，然后求出∠OEC+∠OCE=90°，再求出∠COE=90°，然后根據垂直的定義即可得證．
點評：本題考查了正方形的四條邊都相等，四個角都是直角的性質，全等三角形的判定與性質，比較簡單，求出∠BAE=∠CAF是證明三角形全等的關鍵，也是本題的難點．