Question

如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時用到的一個圖形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED邊長，易知，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．
請解決下列問題：
（1）寫出一個“勾系一元二次方程”；
（2）求證：關于x的“勾系一元二次方程”必有實數根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形ACDE的周長是6，求△ABC面積．

Answer 1

（1）解：當a=3，b=4，c=5時
勾系一元二次方程為3x²+5x+4=0；

（2）證明：根據題意，得
△=（c）²-4ab=2c²-4ab
∵a²+b²=c²
∴2c²-4ab=2（a²+b²）-4ab=2（a-b）²≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有實數根；

（3）解：當x=-1時，有a-c+b=0，即a+b=c
∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6
∴3c=6
∴c=2
∴a²+b²=c²=4，a+b=2
∵（a+b）²=a²+b²+2ab
∴ab=2
∴S_△ABC=ab=1．
分析：（1）直接找一組勾股數代入方程即可；
（2）通過判斷根的判別式△的正負來證明結論；
（3）利用根的意義和勾股定理作為相等關系先求得c的值，根據完全平方公式求得ab的值，從而可求得面積．
點評：此類題目要讀懂題意，根據題目中所給的材料結合勾股定理和根的判別式解題．