Question

已知關于x的方程x²-4|x|+k=0．
（1）若方程有四個不同的整數根，求k的值求出這四個根；
（2）若方程有三個不同的整數根，求k的值及這三個根．

Answer 1

解：（1）方程x²-4|x|+k=0，有四個不同的整數根，則關于|x|的方程|x|²-4|x|+k=0有兩個不同的正整數根，
∴△=16-4k＞0，即k＜4，
且兩根之積大于0，即k為正整數．
∴k=1，2，3．
當k=1，k=2時，原方程無整數解；
當k=3時，|x|²-4|x|+k=0，
解得：|x|=1或3．
∴當k=3時，原方程有四組不同的解：x₁=1，x₂=-1，x₃=3，x₄=-3．

（2）原方程有三組不同的整數根時，關于方程|x|²-4|x|+k=0必有一根為0，
∴k=0，
∴|x|²-4|x|=0．
∴|x|=0，或|x|=4．
∴x₁=0，x₂=4，x₃=-4
分析：（1）根據已知條件x²-4|x|+k=0，有四個不同的整數根，關于|x|的方程|x|²-4|x|+k=0有兩個不同的正整數根，再利用根的判別式得出k的取值范圍，得出符合條件的值．
（2）根據已知條件x²-4|x|+k=0，有三個不同的整數根，方程|x|²-4|x|+k=0必有一根為0，得出x的值．
點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式，以及一元二次方程整數根的求法，題目比較簡單．