Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接BE．
（1）若∠C=30°，求證：BE是△DEC外接圓的切線；
（2）若BE=，BD=1，求△DEC外接圓的直徑．

Answer 1

（1）證明：∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，AE=CE，
∴DC為△DEC外接圓的直徑，
取DC的中點O，連結OE，如圖，
∵∠ABC=90°，
∴BE為Rt△ABC斜上的中線，
∴EB=EC，
∵∠C=30°，
∴∠EBC=30°，∠EOC=2∠C=60°，
∴∠BEO=90°，
∴OE⊥BE，
而BE為⊙O的半徑，
∴BE是△DEC外接圓的切線；

（2）解：∵BE為Rt△ABC斜上的中線，
∴AE=EC=BE=，
∴AC=2，
∵∠ECD=∠BCA，
∴Rt△CED∽Rt△CBA，
∴=，
而CB=CD+BD=CD+1，
∴=，
解得CD=2或CD=-3（舍去），
∴△DEC外接圓的直徑為2．
分析：（1）根據線段垂直平分線的性質由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圓周角定理得到DC為△DEC外接圓的直徑；取DC的中點O，連結OE，根據直角三角形斜邊上的中線性質得EB=EC，得∠C=∠EBC=30°，則∠EOC=2∠C=60°，可計算出∠BEO=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）由BE為Rt△ABC斜上的中線得到AE=EC=BE=，易證得Rt△CED∽Rt△CBA，則=，然后利用相似比可計算出△DEC外接圓的直徑CD．
點評：本題考查了圓的切線的判定：過半徑的外端點，與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了線段垂直平分線的性質、直角三角形斜邊上的中線性質以及三角形相似的判定與性質．