Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx過A（4，0），B（1，3）兩點，點C、B關于拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸于點H．

（1）求拋物線的表達式，并求出△ABC的面積；

（2）點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，當△ABP的面積為6時，求出點P的坐標；

（3）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，請直接寫出此時△CMN的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋4x，3；（2）點P坐標為（5，－5）；（3）或或17或5．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求二次函數的表達式，即可求得二次函數的對稱軸x=2，可得點C的坐標為（3，3），根據面積公式求△ABC的面積；（2）如圖①，過P點作PD⊥BH交BH于點D，因為點P是拋物線上一動點，且位于第四象限，設出點P的坐標（m，﹣m2+4m），利用差表示△ABP的面積，列式計算求出m的值，寫出點P的坐標；（3）分別以點C、M、N為直角頂點分三類進行討論，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的長，利用面積公式進行計算．

試題解析：

（1）把點A（4，0），B（1，3）代入y＝ax2＋bx，求得該拋物線的表達式為y＝－x2＋4x；

∴拋物線的對稱軸為x=2，

又∵點B的坐標為（1，3），

∴點C的坐標為（3，3），

∴BC=2，

∴S△ABC＝×2×3＝3；

（2）如圖①，過P點作PD⊥BH交BH于點D，設點P（m，－m2＋4m），

由S△ABP=S△ABH+S四邊形HAPD﹣S△BPD，

可得6= 3×3＋ （3＋m－1）（m2－4m）－（m－1）（3＋m2－4m），

∴3m2－15m＝0，m1＝0（舍去），m2＝5，

∴點P坐標為（5，－5）；

（3）以點C、M、N為頂點的三角形為等腰直角三角形時，分三類情況討論：

①以點M為直角頂點且M在x軸上方時，如圖②，

CM＝MN，∠CMN＝90°，則△CBM≌△MHN，∴BC＝MH＝2，BM＝HN＝3－2＝1，∴M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC＝，∴S△CMN＝；

②以點M為直角頂點且M在x軸下方時，如圖③，

作輔助線，構建如圖③的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，得Rt△NEM≌span>Rt△MDC，∴EM＝CD＝5，MD＝ME＝2，由勾股定理得：CM＝，∴S△CMN＝；

③以點N為直角頂點且N在y軸左側時，如圖④，

CN＝MN，∠MNC＝90°，作輔助線，同理得：CN＝，∴S△CMN＝17；

④以點N為直角頂點且N在y軸右側時，作輔助線，如圖⑤，

同理得：CN＝，此時點N與點A重合，∴S△CMN＝5；

⑤以C為直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上所述：△CMN的面積為： 或或17或5．