Question

【題目】如圖，AB是的直徑，點C是外一點，連接AC，BC，AC與交于點D，弦DE與直徑AB交于點F，．

求證：BC是的切線；

若，，，求CD的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；．

【解析】

（1）連接BD，根據圓周角定理得到∠BAE=∠BDE，推出∠C=∠ABD，由AB是⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，推出AB⊥BC，于是得到結論；

（2）根據垂徑定理得到，等量代換得到，求得∠ABD=2∠DAB，解直角三角形即可得到結論．

（1）連接BD，則∠BAE=∠BDE．

∵∠AFE=∠DFB，∴∠E=∠ABD．

∵∠C=∠E，∴∠C=∠ABD．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∴∠C+∠CBD=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，∴

，∴，∴∠ABD=2∠DAB，∴∠BAC=30°，∠ABD=60°，∴∠C=60°，∴∠CBD=30°．

∵AB=2，∴BCAB=2，∴CDBC=1．