Question

14．如圖，AD是△ABC的高，點E，F在邊BC上，點H在邊AB上，點G在邊AC上，AD=80cm，BC=120cm．
（1）若四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積．
（2）若四邊形EFGH是長方形，長方形的面積為y，設EF=x，則y=-$\frac{2}{3}$x²+80x．（含x的代數式），當x=60cm時，y最大，最大面積是2400cm²．

Answer 1

分析 （1）根據正方形的對邊平行可得HG∥EF，然后得到△AHG與△ABC相似，根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式，求出HG，即可得出正方形的面積；
（2）證出△AEF∽△ABC，得出比例式得出HE，得出長方形的面積y是x的二次函數，再利用二次函數的最值問題進行求解即可．

解答 解：（1）∵四邊形EFGH是正方形，
∴HG∥EF，GH=HE=ID，
∴△AHG∽△ABC，
∴AI：AD=HG：BC，
∵BC=120cm，AD=80cm，
∴$\frac{80-HG}{80}=\frac{HG}{120}$，
解得：HG=48cm，
∴正方形EFGH的面積=HG²=48²=2304（cm²）；
（2）∵四邊形EFGH是長方形，
∴HG∥EF，
∴△AEF∽△ABC，
∴AI：AD=HG：BC，
即$\frac{80-HE}{80}=\frac{x}{120}$，
解得：HE=-$\frac{2}{3}$x+80，
∴長方形EFGH的面積y=x（-$\frac{2}{3}$x+80）=-$\frac{2}{3}$x²+80x=-$\frac{2}{3}$（x-60）²+2400，
∵-$\frac{2}{3}$＜0，
∴當x=60，即EF=60cm時，長方形EFGH有最大面積，最大面積是2400cm²；
故答案為：-$\frac{2}{3}$x²+80x，60cm，2400cm²．

點評 本題考查了長方形的性質、正方形的性質、相似三角形的判定與性質以及二次函數的最值問題；根據相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式求出長方形的邊長是解決問題（2）的關鍵．