Question

【題目】已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，點F為BE中點，連結DF，CF．

（1）如圖1，點D在AC上，請你判斷此時線段DF，CF的關系，并證明你的判斷；

（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉45度時，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此時線段CF的長．

Answer 1

【答案】（1）DF=CF，DF⊥CF，（2）.

【解析】

（1）如圖1，延長DF交BC于H，由“AAS”可證△DEF≌△HBF，可得DF=FH，DE=BH，可證DC=CH，由等腰直角三角形的性質可得DF=CF，DF⊥CF；

（2）延長DF交BA于點H，連接CH，CD，由“AAS”可證△DEF≌△HBF，可得DF=FH，DE=BH，由“SAS”可證△ADC≌△BHC，可得CH=CD，∠ACD=∠BCH，由由勾股定理和等腰直角三角形的性質可求CF的長．

解：（1）DF=CF，DF⊥CF，

理由如下：如圖1，延長DF交BC于H，

∵點F為BE中點，

∴BF=EF，

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AD=ED，AC=BC，∠ACB=∠ADE=∠CDE=90°，

∴BC∥DE，

∴∠BHF=∠EDF，且BF=EF，∠DFE=∠BFH，

∴△DEF≌△HBF（AAS）

∴DF=FH，DE=BH，

∵AD=ED=BH，AC=BC

∴DC=CH，且DF=FH，∠ACB=90°，

∴CF=DF，CF⊥DF；

（2）如圖2，延長DF交BA于點H，連接CH，CD，

∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC=BC，AD=DE．

∴∠AED=∠ABC=45°，

∵由旋轉可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，

∵AE∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∴∠DEF=∠HBF．

∵F是BE的中點，

∴EF=BF，且∠DEF=∠HBF，∠EFD=∠BFH，

∴△DEF≌△HBF（AAS），

∴ED=HB=2，DF=FH，

∵AB=6，

∴AH=4

在Rt△HAD中，DH=

∵AD=BH=DE，AC=BC，∠DAC=∠ABC=45°，

∴△ADC≌△BHC（SAS）

∴CH=CD，∠ACD=∠BCH，

∵∠BCH+∠ACH=90°，

∴∠ACD+∠ACH=90°，

∴∠DCH=90°，且CH=CD，DF=FH，

∴CF=DF=FH=．