Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是⊙O的直徑，弦DE與AC交于點E，且BD=BF．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由OD=OE，BD=BF，易證得∠OED=∠F，即可得OE∥BC，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，即可得AC是⊙O的切線；
（2）首先設半徑為x，易得△AOE∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得半徑，繼而求得答案．
解答：（1）證明：連接OE，
∵BD=BF，
∴∠BDF=∠F，
∵OD=OE，
∴∠BDF=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴OE∥BC，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°，
即OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；

（2）設半徑為x，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∵BC=6，AD=4，
∴AO=4+x，AB=4+2x，
∴，
解得：x=4或x=-3（舍去）．
∴⊙O的面積為：16π．
點評：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．